符号理論の研究動向として
Rank Metric Codes
が注目されています。
中でも、 E.M.Gabidulin によって提案された符号の
構成法と復号は、 Rank Metric Codesに深い理解を
与えます。
この記事では、Gabidulinの構成法を学ぶために
必要な知識や文献をまとめていきます。
そもそもの文献は
Theory of Codes with Maximum Rank Distance
Probl. Peredachi Inf., 1985, Volume 21, Issue 1, Pages 3–16 (Mi ppi967)
という論文です。この論文はロシア語で書かれているため、
日本人で読みこなすのは、なかなか厄介です。
では、どうしようかというと、
実は英訳版が出版されています。
なので心配無しです。
特定の大学の図書館で入手できます。
この論文を読めば、Gabidulin符号と呼ばれる構成方法が習得できます。
前提となる知識は
・線形代数の一般的な知識
・ユークリッド整域とユークリッド互助法の基礎知識
・有限体の構造、特に、 normal basis theorem
・線形化多項式の基礎理論
・q-binomial に関する知識
・リード・ソロモン符号に関する知識、特に、MDS性
・巡回符号に関する知識
・ユークリッド復号法に関する知識
です。
これだけあれば、簡単に読み進められます。
線形代数やユークリッド整域の知識は、
大学1年次に数学科で履修するでしょう。
normal basis theoremや線形化多項式の理論は
Niederreiter著の書籍「finite fields」(の2.3章まで)を読めば十分です。
q-binomialに関する知識は、
R.P.Stanley著の書籍「Enumerative Combinatorics」を読めば十分です。
MDS符号や巡回符号に関する知識は、
今井秀樹著の書籍「符号理論」を読めば十分です。
リード・ソロモン符号、ユークリッド復号法に関する知識は、
拙著「符号理論 ~デジタルコミュニケーションにおける数学~」を読めば十分です。
以上の準備のもと、上の論文を読まれれば、
Rank Metric Codesの面白さが理解できるのではと
思います。