フィールズ賞２０２２と符号理論 – Manabu Hagiwara, 萩原学, on manau.jp

【２０２２年９月２４日に追記しました。気になるその内容は一番下に】

２０２２年７月５日

国際数学者会議にて

フィールズ賞の受賞者が発表されました。

数学界のノーベル賞に例えられる権威ある賞です。
ただし、４０歳以下限定である、若手の賞という側面もあります。

２０２２年の受賞者は４名。

そのうち１名が女性でした。

女性のフィールズ賞受賞者は２人目。

彼女の名前はマリナ。マリナ・ヴィヤゾフスカ。

受賞理由は、球の充填問題を大きく前進させたこと。

球の充填問題とは、

　同じ大きさのボールを沢山詰める方法を求めよ

という問題です。

空間の次元によって答えが異なります。

　２次元版なら、机の上に１０円玉を沢山並べる方法。

　３次元版なら、箱の中にボールを沢山並べる方法。

彼女より前は、1，2，３，４次元まで答えがわかっていました。

ただし、３次元版の答えが分かったのは最近で、
分かるまで３５０年かかったという難問。

マリナ・ヴィヤゾフスカさんは、

８次元版と２４次元版を解決

という偉業を達成したのです。

凄い！

さて、なぜこの話に萩原が飛びついているかというと、

　符号理論と関係が濃いから。

座標の値を、

　実数体から有限体に変えた問題が

　　符号理論の目的である

　　　誤り訂正符号の符号語を増やすこと

なんです。

言い換えると
　通信効率を上げること
なんです。

ちなみに実数体版と違って有限体版だと、

　次元だけでなく、

　球の半径によって
答えが変わります。

さらに実数体版と違うのは、

　空間全てを埋め尽くせることがある

という摩訶不思議な現象が発生します。

そのような埋め方を、符号理論では

　完全符号

と呼びます。

これらだけでも繋がりとして魅力的ですが、

もっと踏み込んだ繋がりもあります。

それが、
　拡張ハミング符号とE8格子

　拡張Golay符号とリーチ格子

です。

拡張ハミング符号と拡張Golay符号は誤り訂正符号と呼ばれる対象です。

その昔ハードディスクの誤り訂正に使われていた「ハミング符号」に
ひと手間加えたのが拡張ハミング符号。
千葉大の数学・情報数理学科では、ハミング符号を３年生で学びます。

かなり昔ですが、宇宙探査機でも通信方式に使われていた「Golay符号」に
ひと手間加えたものが拡張Golay符号。
ごめん、千葉大の数学・情報数理学科では僕が教えてない。来年から教えようかな。

ハミング符号は７次元空間の半径１の球により、
Golay符号は２３次元空間の半径３の球により
それぞれ二元体版の球の充填問題の解になっています。
つまり、どちらも完全符号です。

ひと手間加えることで
拡張ハミング符号は　８（＝７＋１）次元空間に、
各行Golay符号は　２４（＝２３＋１）次元空間に、
それぞれ１次元ずつ大きくなります。

拡張ハミング符号に更に手を加えると
　E8格子、
拡張Golay符号に更に手を加えると

　リーチ格子、

と呼ばれる数学構造を構成できます。

実数座標を持つ空間上に点をポツポツ置いた雰囲気の構造です。

拡張ハミング符号の符号長８に由来して、
　E8格子の次元が８になります。
拡張Golay符号の符号長２４に由来して、

　リーチ格子の次元が２４になります。

このE8格子とリーチ格子の各点に球の中心を配置したものが、

　同じ大きさのボールを沢山詰める方法

になっていました。

８次元版では、
　E8格子が活用できる
という予想が以前から知られていましたが、

最後の一手を

マリナ・ヴィヤゾフスカさんが