某大学の講義で、
完全符号を扱いました。
講義スライドをアニメーション化したのが
次の動画です。
７月５日に行われた数学で最も権威のある「フィールズ賞」の授賞式。
受賞者の１人、マリア・ヴィアゾフスカさんの受賞理由は
完全符号の応用でした。
ざっくりとした話は
ブログに解説記事を書いています。
【こちら】
です。
一読下さい。
すごいでしょ。
以下、ブログの解説記事を読んだ前提で話を進めます。
「ハミング符号を拡張する」の意味は
外符号として「ハミング符号」を内符号として「シングルパリティ符号」を
組み合わせる
という意味です。
まず、外符号を使って符号化して、つぎに内符号と使って符号化します。
この場合、
符号化前のビット数が４。
外符号（ハミング符号）による符号化後のビット数が７。
内符号（シングルパリティ符号）による符号化後のビット数が８。
となります。
ここで理解度チェック：
拡張ハミング符号の符号語を全て書き出しなさい。
その際に、
符号化前に４ビットと、符号語の対応を書くこと。
外符号の符号化も、内符号の符号化も、講義で教えたものを用いること。
ブログの解説記事の中で出てきた E8格子 の作り方を述べます。
それが今回のゴールです。
こちらを理解するように手を動かしてみましょう。
E8格子とは、実数体上の８次元空間の点の集合です。
以下の特徴をもつ点全体として定義されます。
次の条件を満たす
整数ベクトル a の各成分を ルート２ で割った a / √2 。
条件：各成分に対し奇数を１、偶数を０で置き換えたものが
拡張ハミング符号の符号語である。
ルート２で割ることを忘れて、
整数ベクトルaが条件を満たすとは何か、
慣れていきましょう。
例えば、次の３つの整数ベクトル
(0,0,0,0,0,0,0,0)、(1,1,1,1,1,1,1,1)、（0,0,0,1,1,1,1,0）
は拡張ハミング符号の符号語そのものなので
条件を満たします。
続いて、つぎの２つの整数ベクトル
(2,2,6,10,100,-4,-90000,8888）、(2,-2,0,0,0,0,0,0)
は、偶数を0に、奇数を1に置き換えると、どちらも(0,0,0,0,0,0,0,0）となり
拡張ハミング符号の符号語なので条件を満たします。
しかし、つぎの整数ベクトル
(2,-2,0,0,0,0,0,11)
は、偶数を0に、奇数を1に置き換えると(0,0,0,0,0,0,0,1）となり
条件を満たしません。
では、最後に。
フィールズ賞受賞者の マリナ・ヴィヤゾフスカさんの結果のE8版を。
上記で作った整数ベクトル（を√２で割らずに）の各点を中心として、
半径１のボールを配置します。
これが、
８次元空間に半径１のボールを置くのが
最も密度の高い方法
という定理です。
数学の最高の賞が、ハミング符号から学べるのは面白くないですか？
