符号理論＠千葉大学

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▼ 2011/08/06(土) ４年かけたけども

【量子符号】

お気に入りの論文が
リジェクトされてしまいました。

残念。

　ISIT2007という学会で講演した内容をベースに、
　計算例を追加し、
　計算機実験にて良い性能を検証した結果も追加し、
と新たな成果を述べたのですが
採録に至りませんでした。

A4で２ページ程度の査読結果。
　すでに ISIT2007で講演しているから
　新規性がなく論文誌に載せる必要がない
という内容でした。
そして
　ISIT2011にて進展結果を出しているからもう必要なし
のような話でした。
この理由だと、
いくら手を加えても採録不可能的な話になってる。

論文の出版は難しいですね。

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▼ 2011/04/18(月) 量子誤り訂正符号、入門用資料

【量子符号】

量子誤り訂正符号：初学者向け資料についてはこちらへ。

量子誤り訂正符号を初めて学ぶ人向けの資料を
執筆しました。

京都大学数理解析研究所（RIMS)の
講究録用に書いた資料です。

RIMSの講究録用なので、
数学的な視点で整理しています。

興味のある方は
RIMS講究録を御覧ください。

と思っていたのですが、
講究録の発行まで
まだ時間があるようです。

発行までの期間、
興味のある方には
写し（PDFファイル）をメールでお渡ししたいと思います。

気軽にご連絡ください。

章立て
・はじめに (Page 1)
・量子誤り訂正符号理論とは (Page 1-3)
・量子誤り訂正符号の定義 (Page 3-7)
・パウリ行列を用いて記述される量子誤り訂正符号とその関連事項 (Page 7-9)
・５量子ビット符号 (Page 10-12)
・量子ハミング符号 (Page 13)
・量子LDPC符号 (Page 14)
・まとめ (Page 14)
・参考文献　（Page 15)

関連キーワード：量子符号量子誤り訂正符号符号理論 LDPC符号

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▼ 2010/06/06(日) 名称募集

【量子符号】

名前をつけたい対象がある。

でも浮かばない。

覚えやすくてイメージがわきやすい。
そんな名前が欲しい。

どんな対象かというと
整数の組　 $(\sigma, \tau)$ が整数 $P$ と次の関係にある。
１． $\sigma, P$ は互いに素
２． $\tau, P$ は互いに素
３． $P | 1-\sigma^i$ とならないすべての整数iに対して、 $1-\sigma^{i} , P$ は互いに素。
４． $\mathbb{Z}_P^{*}$ の元として、 $\tau \neq 1, \sigma, \sigma^2 , \dots$ 。

どんな名前が良いのやら。

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▼ 2010/04/26(月) 出版ならず

【量子符号】

量子誤り訂正符号の教科書。

日本どころか、
世界でみても
一冊もない。

そんな話をしていたら、
とある出版社から
　教科書を書きますか
と話が盛り上がった。

しかし、
なんやかんやあって
暗礁に乗り上げた。

残念。

量子誤り訂正符号に限らず、
誤り訂正符号を
もう一度まとめなおす本があっても
良いのではないかと
思ったりしてる。

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▼ 2010/03/19(金) [n,2]線形符号の復号性能解析　その２

【量子符号】

■ 前回のおさらい。

符号長n、次元2の二元体上の線形符号は深さ３以下のヤング図形であって
その次数がn以下のもので特徴づけられる。

ここで修正ですが、正確には
深さ２以上３以下が正しい。
それは、以下の説明を読んで頂ければわかります。

次数d、深さ３以下のヤング図形とは
$(a_1 , a_2 , a_3 ), a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 0 , a_1 + a_2 + a_3 = d$
なる整数列を言う。
この深さが２以上であるとは $a_2 \ge 1$ であることを言う。

例えば次数5の深さ２以上３以下のヤング図形の例を全てあげると
$(4,1,0), (3,2,0), (3,1,1), (2,2,1)$
の４つである。

■線形符号との対応

線形符号との対応は
$c_{11}$ を
最初の　 $a_1 +a_2$ 　ビットが1であって
それ以降は0であるビット列。
$c_{10}$ を
最初の　 $a_1$ 　ビットが1であって、
次の $a_{2}$ 　ビットが０であって、
さらに次の $a_3$ ビットが１であって、
それ以降は0であるビット列。
$c_{01}$ を
最初の $a_1$ ビットが０であって、
次の $a_2 + a_3$ ビットが１であって、
それ以降は0であるビット列。
$c_{00}$ は
ｎビット全てが０のビット列。
と４つの符号語を定義し、
それら４元からなる符号との対応によって関係づける。

例）
$(4, 2, 1)$ に対する符号長8の線形符号は
$c_{11} = (1,1,1,1,1,1,0,0)$
$c_{10} = (1,1,1,1,0,0,1,0)$
$c_{01} = (0,0,0,0,1,1,1,0)$
$c_{00} = (0,0,0,0,0,0,0,0)$
の４元からなる符号である。

簡単にわかるように、最小重みは $a_2 + a_3$ に等しい。

■複号性能解析の仮定

ここまでの議論から、構成される符号を
$[n, 2, a_2 + a_3] - (a_1, a_2, a_3)$ と書くことができる。
この符号を二元対称通信路上で送信し、最小距離復号を適用した際に
正しく復号される確率を計算しよう。
通信路のビット反転率をp < 0.5とする。

受信語から等しい距離にある符号語が複数ある場合は
検出にとどめ推定語を出力しないこととする。

この時、
$[n, 2, a_2 + a_3] - (a_1, a_2, a_3)$ 符号の復号成功確率と
$[n+1, 2, a_2 + a_3] - (a_1, a_2, a_3)$ 符号の復号成功確率は
等しいことが簡単に確かめられる。
そこで、ヤング図形の次数、つまり、 $a_1 + a_2 + a_3$ に着目して性能分析していく。

以下、計算過程は省略する。

■次数 3のとき

このときのヤング図形は $(2,1,0)$ に限る。
最小距離は1である。

復号性能確率は
$(1 - p)^3$
である。

■次数 4の時

ヤング図形は $(3,1,0), (2,2,0), (2,1,1)$ の３つである。

(3,1,0)の時、最小距離は1である。
復号性能確率は
$(1 - p)^4 + 3 (1 - p)^3 p$
である。

(2,2,0)の時、最小距離は2である。
復号性能確率は
$(1 - p)^4$
である。

(2,1,1)の時、最小距離は2である。
復号性能確率は
$(1 - p)^4+ 2 (1 - p)^3 p$
である。

以上から、最も復号性能の高い符号は(3,1,0)である。

■次数 5の時

ヤング図形は $(4,1,0), (3,2,0), (3,1,1), (2,2,1)$ の４つである。

(4,1,0)の時、最小距離は1である。
復号性能確率は
$(1 - p)^5 + 4 (1 - p)^4 p$
である。

(3,2,0)の時、最小距離は2である。
復号性能確率は
$(1 - p)^5 + 3 (1 - p)^4 p$
である。

(3,1,1)の時、最小距離は2である。
復号性能確率は
$(1 - p)^5 + 3 (1 - p)^4 p$
である。

(2,2,1)の時、最小距離は3である。
復号性能確率は
$(1 - p)^5 + 5 (1 - p)^4 p$
である。

以上から、最も復号性能の高い符号は(2,2,1)である。

■次数 6の時

ヤング図形は $(5,1,0), (4,2,0), (4,1,1), (3,3,0), (3,2,1), (2,2,2)$ の６つである。

(5,1,0)の時、最小距離は1である。
復号性能確率は
$(1 - p)^6 + 5 (1 - p)^5 p + 10 (1 - p)^4 p^2$
である。

(4,2,0)の時、最小距離は2である。
復号性能確率は
$(1 - p)^6 + 4 (1 - p)^5 p$
である。

(4,1,1)の時、最小距離は2である。
復号性能確率は
$(1 - p)^6 + 4 (1 - p)^5 p + 6 (1 - p)^4 p^2$
である。

(3,3,0)の時、最小距離は3である。
復号性能確率は
$(1 - p)^6 + 6 (1 - p)^5 p + 9 (1 - p)^4 p^2$
である。

(3,2,1)の時、最小距離は3である。
復号性能確率は
$(1 - p)^6 + 6 (1 - p)^5 p + 6 (1 - p)^4 p^2$
である。

(2,2,2)の時、最小距離は4である。
復号性能確率は
$(1 - p)^6 + 6 (1 - p)^5 p$
である。

以上から、最も復号性能の高い符号は(3,3,0)である。
注意：p < 0.5 を使っている。

■考察

誤り訂正符号の研究では、
最小距離と呼ばれるパラメータに着目されることがしばしばある。
最小距離が大きいほど、復号性能がよいと考えている研究者が少なくない。

上記の例をみるとわかるが、
符号長（ここでは次数と等しい）が４，６の時、
もっとも最小距離の大きな符号よりも、
短い符号の方が復号成功確率が高いことが確認できる。

最小距離の大きな符号を構成する研究は、
数学的な立場から見れば、
理論的に面白い面がたくさんあり有意義である。
その一方で誤り訂正の立場からみれば、
必ずしも良い符号を導くとは限らない。

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▼ 2010/03/19(金) [n,2]線形符号の復号性能解析 その２

■ 前回のおさらい。

■線形符号との対応

■複号性能解析の仮定

■次数 3のとき

■次数 4の時

■次数 5の時

■次数 6の時

■考察

▼ 2010/03/19(金) [n,2]線形符号の復号性能解析　その２